|
Иванова Елена Александровна Санкт-Петербургский государственный политехнический университет | |
Тело-точка как базовая модель в механике сплошных сред
Определение тела-точки
При построении моделей сплошных сред с вращательными степенями свободы, таких как стержни, пластины, оболочки и трехмерные среды Коссера, в качестве базового материального объекта используется тело-точка. Тело-точка — это материальный объект, занимающий нулевой объем в пространстве. В отличие от материальной точки, тело-точка совершает не только трансляционные, но и вращательные движения. Положение тела-точки определяется вектором положения R(t) и тензором поворота P(t). Фактически, определением тела-точки является задание его кинетической энергии.
Определение. Кинетическая энергия K тела-точки — квадратичная форма его трансляционной и угловой скоростей:
 |
Здесь v — вектор трансляционной скорости, ω — вектор угловой скорости, m — масса тела-точки, mB, mJ — тензоры инерции тела-точки в актуальной конфигурации. Нетрудно видеть, что кинетическая энергия тела-точки имеет такую же структуру, как и кинетическая энергия абсолютно твердого тела. В динамике твердого тела хорошо известна теорема Кенига, которая формулируется следующим образом:
Теорема Кенига. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела складывается из кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии вращения вокруг центра масс.
Если выразить кинетическую энергию твердого тела не через скорость центра масс, а через скорость любой другой точки тела, то получится формула, приведенная выше. При этом тензор инерции mB получится антисимметричным и будет полностью определяться радиус-вектором, проведенным из центра масс в ту точку тела, скорость которой представлена в выражении для кинетической энергии. Таким образом, существенное отличие тела-точки от абсолютно твердого тела состоит в том, что тензор инерции mB у тела-точки может быть произвольным, тогда как у твердого тела тензор инерции mB должен быть антисимметричным. Материальная точка и абсолютно твердое тело бесконечно малых размеров являются частными случаями тела-точки. Именно эти модели традиционно используются в механике сплошных сред.
Материальная точка и бесконечно малое твердое тело в механике тонкостенных конструкций
В теориях тонкостенных конструкций с нулевой изгибной жесткостью, а именно в теории нитей и мембран, элементарный объем сплошной среды обладает свойствами материальной точки. Инерционные свойства таких конструкций характеризуются плотностью массы, кинематика определяется полем перемещений, взаимодействия — чисто силовые. В моментных теориях, описывающих тонкостенные конструкции с ненулевой изгибной жесткостью, таких как стержни и оболочки, элементарный объем сплошной среды считается бесконечно малым твердым телом. Поэтому тензоры инерции в моментных теориях тонкостенных конструкций имеют такую же структуру, как тензоры инерции макроскопических твердых тел. При этом в ряде случаев, определяя кинетическую энергию элементарного объема, нельзя считать, что радиус-вектор направлен в центр масс, и, соответственно, нельзя применять теорему Кенига, а надо пользоваться выражением для кинетической энергии, содержащим тензор B. Примеры приведены ниже.
Теория прямолинейных балок и криволинейных стержней. В случае прямолинейной балки центр масс поперечного сечения находится на срединной линии. Поэтому вектор R(s), характеризующий положение точки стержня, определяет положение центра масс поперечного сечения. Следовательно, тензор инерции B равен нулю. В случае криволинейного стержня центр масс поперечного сечения расположен не на срединной линии (см. рисунок). Тогда тензор инерции B не равен нулю.
Прямолинейная балка и криволинейный стержень |
 |
Теория пластин и оболочек. В случае пластины центр масс волокна находится на срединной плоскости. Следовательно, B = 0. В случае оболочки центр масс волокна расположен не на срединной поверхности (см. рисунок) и, соответственно, тензор B отличен от нуля.
Пластина и оболочка |
 |
На первый взгляд кажется, что несущую кривую в стержне и несущую поверхность в оболочке можно провести через центры масс элементарных объемов. Тогда выражение для кинетической энергии упростится. Однако, детальный анализ показывает, что в этом случае тензоры жесткости будут иметь более сложную структуру. Упрощение кинетической энергии за счет усложнения внутренней энергии является неоправданным, поскольку приводит к общему усложнению теории. Изложение общей теории криволинейных стержней и теории оболочек можно найти в книгах П.А.Жилина:
Бесконечно малое твердое тело в трехмерных моделях механики сплошной среды
Классические трехмерные теории, такие теория упругости, теория вязкоупругости, основанная на моделях сред с затухающей памятью, теория вязкоупругости, основанная на реологических моделях и целый ряд теорий пластичности, являются безмоментными теориями. Элементарный объем сплошной среды в безмоментных теориях аналогичен материальной точке. в 1909 братья Эжен и Франсуа Коссера разработали метод описания трехмерных сред с вращательными степенями свободы, т.е. таких сред, у которых каждый элементарный объем представляет собой бесконечно малое твердое тело. Долгое время теория Коссера не находила практического применения. Это связано с тем, что для упругих сред поправки, связанные с учетом моментных взаимодействий, настолько малы, что даже не удается экспериментально определить соответствующие модули упругости. Однако, в последние десятилетия среды Коссера нашли применение для описания неупругих сред (в частности, сыпучих сред), для описании сред, обладающих не только механическими свойствами (в частности, ферромагнетиков), а также при моделировании различных физических процессов и явлений и построении механических моделей физических полей — см., например:
